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Mathe RÄTSEL Geometrie - Wie groß ist der Flächeninhalt der Kreisfigur?
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- Published on Mar 24, 2023 veröffentlicht
- Mathe RÄTSEL Geometrie lösen
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man den Flächeninhalt der Kreisfigur berechnen kann. Wir bestimmen die Fläche der Kreise und nutzen den Satz des Pythagoras, um den Inhalt des Halbkreises zu finden. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Mathe RÄTSEL Geometrie
0:27 Kreisfigur Flächen aufteilen
1:24 Fläche Viertelkreis berechnen
2:24 Fläche Halbkreis berechnen
3:20 Halbkreis Radius berechnen
5:25 Satz des Pythagoras
6:24 Lineare Gleichung lösen
8:24 Fläche Halbkreis berechnen
9:37 Bis zum nächsten Video :)
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Ich hatte vor Kurzem auch eine knifflige Aufgabe. Ich musste auf einem Halbkreis den aktuellen Standort der Sonne einzeichnen. Also bei Sonnenaufgang z.B. ist der Punkt ganz unten links auf dem Halbkreis, Mittags oben in der Mitte. Aber wo ist der Punkt um 10:53? Da ging es ganz schön in die Trigonometrie rein.
unterrichtest du mathematik an einer uni? dann hab ich nämlich bock das zu studieren. so viel spaß macht mathe sonst nie und alles ist so leicht plötzlich.
Bei diesem Video ist mir ein ungelöste Aufgabe eingefallen: In ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 werden 4 Viertelkreise gezeichnet, mit dem Radius 1 und den Eckpunkten als Mittelpunkt. Die jeweiligen linken und rechten Nachbarecken der Mittelpunktecken sind Beginn und Ende der Kreisbögen. Die Kreisbögen schneiden sich in 4 Punkten und umschließen eine fast quadratische Fläche. Wie ist der Flächeninhalt dieser Fläche zu berechnen?
Mit der korrekten Anzahl an signifikanten Stellen ist das Ergebnis übrigens 8 m², weil der Radius des Viertelkreises nur auf eine Stelle genau angegeben ist. 😉
Vielen Dank! Ich hab etwas gegrübelt, wie man auf den Radius von A2 kommt. Auf die Lösung mit Pythagoras bin ich auf die Schnelle nicht gekommen, aber die Schul-Mathematik liegt jetzt 26 Jahre hinter mir, da darf man das 😉 Super-verständlich erklärt. Verdient man mit den Videos eigentlich mehr als als Lehrerin🤣?
Echt immer wieder klasse. Diese Serie ist sehr gut geeignet, um altes längst vergessenes Wissen wieder auszugraben.
Du bist einfach nur super! Mit dir macht es echt Spaß die alten grauen Mathe-Zellen zu reaktivieren!
Geometrie fand ich schon immer sehr spannend und hilft mir auch jetzt bei meinem handwerklichen Job immer wieder!
Die Videos sind sehr hilfreich, teils vergessenes Wissen aus der Studienzeit wieder hervorzuholen. Bleib so, wie du bist, und mache noch viele Videos zur Mathematik
@Wolfgang Hermesmeier...Zitat "Trotzdem war ich nach zwei Minuten fertig [...] aber mir ist der Kanal zu pillepalle". Zitat Ende
Das ist für mich Eigenlob...und das stinkt nun mal.
Zitat" Mind your decisions ist eher meins" Zitat Ende
Dann messen Sie sich dort mit ihresgleichen und ich freue mich hier nichts mehr von Ihnen zu lesen. Danke von einem "Pillepaller", der sich hier erfreut.
@Helge Müller Was hat das mit Eigenlob zu tun? Ich rede über Schulstoff zu meiner Zeit, von dem alle Mitschüler betroffen waren (da bin ich doch nicht allein) und wundere mich über den Absturz des Niveaus.
@Wolfgang Hermesmeier, oh was riecht denn hier so?! Aaaaaah...stimmt, ihr Eigenlob!
@Häschen Hüpf Wieso? Ist keine Werbung, hat mit Bayern nichts zu tun, auch mit Alkohol. Ist auch keine Geschichte, sondern die Wahrheit.
@Wolfgang Hermesmeier Geschichten aus dem Paulaner Garten
Deine Video werden didaktisch immer hochwertig präsentiert und dein Lösungsweg ist sehr anschaulich und klar aufgebaut. MathemaTrick ist die Nummer 1 unter den Mathe-Video und deshalb hast du auch so viele Abonnenten, Tendenz steigend! 👏
Ja, didaktisch absolut die Nummer eins! Da kann man nur den Hut davor ziehen, chapeau!! 👌👌👌👏👏👏 Ein ganz besonders wertvoller Mathematik-Kanal ♥️✨️✨️
Erstaunlich wie eine Figur sich so in eine andere fügt, dass nichts von dem Sinn der Verhältnisse sich verliert, sondern immer sich das eine, klar auf das andere beziehen lässt und wie so viele Formeln ineinander gewebt einen so kohärenten Lösungsweg ergeben. Immer wieder eine Freude deine Videos zu schauen und etwas zum Nachdenken zu finden.
Wieder ein sehr interessantes Video, danke! Ich persönlich würde jedoch immer die Einheiten mit hinschreiben und berechnen. In diesem Fall ist das sicher trivial, aber bei komplexeren Aufgaben ist das immer nochmal eine Kontrolle, ob man nicht doch irgendwo einen Fehler drin hat. So wurde es mir damals zumindest in Physik beigebracht.
Deine Videos anzuschauen ist sehr entspannend und verhelfen mir meine Mathekenntnisse zu erweitern, vielen dank🎉
L.G. aus der 10.Klasse
Habe Mathe in der Schule ohne Ende gehasst , hab einfach nichts verstanden. Jetzt studiere ich Informatik und schaue Deine Videos und denke mir: Mathe macht einfach richtig Spaß 😍
@BlvckBytes Ich frage mich was ihre Motivation war so einen unqualifizierten Kommentar online zu stellen. Und geben Sie nicht ihren Lehrer die Schuld dass sie keine differenzierte Überlegungen machen können, da sind sie alleine dafür verantwortlich.
Ich mochte Algebra, Physik und Geometrie. Heute frage ich mich wo die Grenze gewesen wäre, hätten wir damals solche Hilfsmittel gehabt. Ich hoffe die heutige Generation weiss es zu schätzen wie einfach sue es hat und versucht die Grenzen zu finden
@Daniel Pritzl Der C64 hatte ca. 1000 Fließkomma Additionen pro Sekunde.
Oder die programmierbaren (z.B. Sharp) Taschenrechner der 80er.
@Alexander Weigand naja bei einfachen Algorithmen macht sich da nicht viel tatsächlich
@Daniel Pritzl Schleife geht bestimmt schneller und eleganter.
Mit Abbruchbedingung Fehler kleiner irgendwas.
Da könnte man auch einen Wettbewerb daraus machen.
Zielsystem festlegen. Naheliegend ein Emulator für C64 oder Amiga oder Atari ST oder ....
Programmiersprache(n)
Erforderliche Genauigkeit festlegen.
- inklusive der Frage welche Variable da genommen werden soll. Naheliegend natürlich die Fläche.
Und dann kürzester Code und schnellster Code und...
Kleiner Tipp: Weißer Hintergrund blendet etwas arg. Dunkel wäre angenehmer zu schauen. Auch hätt ich es netter gefunden, den Radius der Viertelkreises erstmal als Variable stehen zu lassen und erst ganz am Schluss Zahlen einzusetzen. Dann sieht man nämlich viel klarer, dass die beiden kleineren Raiden gerade die Hälfte und ein Drittel davon sind, und man hat auch nicht das Problem mit der weggelassenen Einheit. Da stellen sich nir als Physiker nämlich die Haare auf, vor allem wenn dann am Schluss, weil ja eine Fläche rauskommen muss einfach m^2 drangeschrieben wird. Dieses Vorgehen funktioniert nämlich nicht immer und kann zu Fehlern führen, wenn man mit verschieden Einheiten zu tun hat.
In der Schule waren Gleichungen mit x Unbekannten meine absolute Leidenschaft. 30 Jahre später und in ganz anderen beruflichen Herausforderungen sind Deine Aufgaben ein bon bon für alte Synapsen.
Danke Dir!
Genau. Macht Spass und zeigt wie viel man noch weiss. Anscheinend ist das wie Fahrrad fahren. Das verlernt man nach 30 Jahren nicht.
Wahnsinn, dass ich durch deine Videos so viel über Mathe gelernt habe, dass ich diese Aufgabe ziemlich schnell lösen konnte! Danke!
Herzlichen Dank für diese wunderschöne Aufgabe aus der Geometrie 🌷Ich habe es so gemacht: Das Zentrum von dem kleinen halbkreis mit dem Zentrum des großen halbkreises verbindet (die Länge wäre 3+r) und sofort kann man dieses Dreieck mit dem rechten Winkel erkennen, und den Satz von Pythagoras anwenden, somit: 3²+(6-r)²=(3+r)² ergibt: 36-12r+r²+9=9+6r+r², 36 = 6r+12r und 36=18 r, somit r=2 m. Die Fläche von dem viertel Kreises= π*6²/4= 9π m², und der kleine halbe Kreis= (π*2²)/2 = 2π m² und der größere halbe Kreis= (π*3²)/2 = 4,50 π m², die rote Fläche wäre= 9π-2π-4,50π = 2,50 π m² wäre die Antwort.
Hallo Susanne. Toll erklärt! Mit Pythagoras und den binomischen Formeln kommt Schwung in die Geometrie!
Alles nachvollziehbar. Ich glaube das größte Problem besteht darin, nicht die Konzentration zu verlieren. 20+ Jahre nach dem Abi muss ich für mich feststellen, dass das gar nicht mehr so leicht ist (gerade wenn im Hintergrund die Kids lärmen und die diversen Social Media Kanäle meines Handys um meine Aufmerksamkeit buhlen).
Klasse! Ich bin Diplom-Ingenieur und liebe Deine Aufgaben! Sie repräsentieren wie die "Katas" (siehe unten) eine tolle Übung um mich einerseits bzgl. der Herangehensweise zur Lösungsfindung herauszufordern und andererseits zu sehen, was da an Schulwissen noch abrufbar ist...
Es ist schon verblüffend, wie viel dann da an Wissen im Verborgenen dennoch da ist, obschon ich es in meinem Beruf als Softwareentwickler eigentlich nicht so oft brauche... In der Software nennt man solche kleinen Übungen wie gesagt "Katas" (kommt aus dem (japanischen?) Kampfsport und steht für Übungsaufgabe oder Herausforderung...
...Und am Spannendsten für mich ist dann immer zu prüfen, ob das Ergebnis, das ich herausbekam stimmt, indem ich an an das Ende des Videos springe und mir die Lösung anschaue...
Ich kann jedem das nur empfehlen um fit zu bleiben, sich selbst herauszufordern und schließlich zu erfahren, ob man es noch kann.
Spiel, Spaß Spannung eben! 🙂Vielen Dank Susanne! :-)
Ich bin immer wieder fasziniert wie einfach du Zusammenhänge erklären kannst.
Sehr elegante Lösung. Aber ich kann mich noch gut erinnern - unser Mathelehrer hätte uns, wenn wir auch so zwischendrin die Einheiten weggelassen hätten, ziemlich die Ohren langgezogen (bildlich gesprochen) 🙂
Danke für deine tollen Videos! Freu mich immer, wenn's wieder ein neues gibt.🙂
Zuerst dachte ich ...Aua 😳
Danach konnte ich alle deine Wege nachvollziehen.
Mathe oder Geometrie können soooo einfach sein. 😉😄
Deine Videos machen einen so süchtig auf Mathe. 👍🏽
Super erklärt. So eine Mathelehrerin hätte ich mir in Mathe auch gewünscht.
Du glaubst gar nicht, wie ich die binomischen Formeln in der Schulzeit gehasst habe. Aber ich glaube, wenn mein Lehrer das damals so schön, wie Du, erklärt hätte, ... Super Videos!!!
Wenn ich an der Uni Ende der 80er die Meter nicht mitgeführt hätte, hätte es Mecker gegeben. Aber du hast sie ja abschließend nicht unterschlagen.
Ich finde es wichtig und für das Verständnis hilfreich bei Flächen eben auch das Multiplizieren und Quadrieren der Einheiten nachzuvollziehen…
Vielen Dank für die coole Aufgabe!
Habe den Radius von A2 mit dem Lineal am Bildschirm gemessen und zum Radius von AV ins Verhältnis gesetzt - Ergebnis war korrekt🤣.
Satz des Pythagoras ist aber eleganter👍.
Schön erklärt, wie immer verständlich und nachvollziehbar. Super gemacht, danke.
@MathemaTrick Danke für die netten Wünsche. Dir auch eine schöne Zeit.
Danke dir Horst, das freut mich total! Dir noch ein schönes Wochenende!
Lang lang ist's her. Aber du bringst mich wieder auf die Sprünge. Danke!
Man bemerke: Der große Halbkreis hat die halbe Fläche des Vierteljreises. Und der kleine Halbkreis drittelt den Radius. Bringt zwar nix aber durchaus erwähnenswert 😃
Tolle Aufgabe. Pythagoras, Geometrie den Kreises, Wow. 🤩🤩🤩
Liebe Grüße und ein schönes Wochenende (ohne Fledermäuse) wünscht
Gerald
PS: Ich habe es diesmal genau so wie du gelöst
Hallöchen,
nach Monaten des stillen Verfolgens muss ich jetzt auch einfach mal sagen, dass Du das klasse machst! (Hab' mir einige Inhalte durch deine Videos selbst beigebracht, und mir so Mathefolien erstellt haha - hast maßgeblich dabei geholfen, meine Leidenschaft für die Mathematik wieder aufblühen zu lassen
@Cad arn War ganz interessante als Schüler die Herangehensweise eines Studenten zu verfolgen, von daher bis zum womöglich nächsten Mathe-Problem ;)
@Nicholas Kersch Du ich bin auch nur ein Student und sage dir aus meiner persönlichen Erfahrung heraus, was ich machen würde bzw wieso. Wie das bei dir bewertet wird weiß ich nicht.
Aber gerne, fand das interessant an so einem Problem nochmal ein wenig zu überlegen und zu schauen ob es noch andere Wege gibt :)
@Cad arn Alles klar, vielen Dank für deine umfassende Antwort inklusive Erklärung! Jetzt verstehe ich zu 100%, dass und warum mein Lösungsweg seine Lücken sowie Tücken und Eurer einfach angemessener ist.
Danke für deine Zeit und Geduld :)
@Nicholas Kersch Also du hast einfach nur π bei der Formel Ar=Av-A1-A2 ausgeklammert? Ist an sich völlig in Ordnung aber das ändert ja nicht unbedingt was, π ist ja auch immer bekannt, egal ob in einer Klausur mit oder ohne Taschenrechner (nur ohne TR steht halt am Ende x*π oder dergleichen und kein Zahlenwert).
Also deine Prämisse war quasi, das an der Y-Achse sieht aus als könnte der Durchmesser vom oberen Halbkreis (2/3)*6m sein, richtig? Ich glaube es wäre wenn dann wichtig irgendeine Art von Überprüfung mit den bekannten/gegebenen Werten zu machen oder zu argumentieren, warum das denn so sein muss. Dafür könnte man dann z.b. den Pythagoras nutzen um zu überprüfen, ob (x+r)^2+9=(r+3)^2 lösbar ist. Das würde bei z.b. r=2,5 und x=1 keine sinnvolle Lösung geben auch wenn sie die Gleichung 6=x+2r erfüllen (übrigens auch ein möglicher Lösungsweg um an R zu kommen). Man könnte auch ein wenig aufwendiger mit sinus/cosinus bzw den winkeln arbeiten. Ich wüsste allerdings spontan nicht wie man komplett ohne Gleichung seine Lösung beweisen kann in dem Fall bzw es wäre mir persönlich einfach zu aufwendig. Es war bei mir in der Schule bzw ist in der Uni häufig auch in Ordnung die Lösung zu erraten/mit Augenmaß darauf zu kommen, solange ich Beweise, dass die Lösung richtig ist (Beziehungsweise alle richtigen Lösungen auch zuverlässig finde mit meiner Methode. In dem Fall ist klar, dass es nur eine Lösung gibt). Bei der Aufgabe ist raten natürlich nicht wirklich aufwendig aber generell ist es meistens schneller bzw besser eine Aufgabe mit Formeln zu lösen, vor allem wenn man beim Überprüfen keinen TR hat(ist bei mir in der Uni bei einigen Prüfungen, u.a. Mathe, verboten).
@Cad arn War wahrscheinlich ein Quäntchen Glück dabei, weil die Werte so schön glatt waren:
Also ich habe die Kreiszahl π bei meiner Rechnung als Konstante angesehen, sie deshalb ausgeklammert und quasi die individuellen Zweitfaktoren der einzelnen Flächen addiert bzw. voneinander subtrahiert. Am Ende komme ich auf das genau gleiche Ergebnis.
Das mit der Ähnlichkeit von Dreiecken meine ich so, dass die Abblidung ja nur konstruierbar sein kann, wenn die Verhältnisse der Halbkreise zueinander stimmen - deswegen habe ich mir erlaubt, mit Augenmaß und Schlussfolgerung zu argumentieren. (weiß nicht, ob das deine Frage ganz beantwortet)
"Tricky" war es den 2. Radius zu bestimmen. Wieder wunderbar und nachvollziehbar erklärt !!! Top
Ich frage mich gerade bei der Konstellation der 2 Kreise im Halbkreis, wo der größere Kreis zwingend r/2 des Halbkreises ist, ob nicht dann für den 2. Kreis der sden großen Kreis tangenzial berühren muss für dessen r nicht automatisch 1/3 r des Halbkreises gilt.
Sehr coole Ansätze, macht echt Spass da mitzudenken :)
Danke, eine sehr schöne Aufgabe, mit einem überzeugenden Lösungsweg.
Ein leicht anderer Ansatz mit zwei Unbekannten:
r = x → 6 = 2x + y → (x + y)^2 + 9 = (3 + x)^2 → (6 - x)^2 = x(x + 6) →
x = y = 2 → 9π - (9/2)π - 2π = (5/2)π 🙂
∆ = Pythagoräisches Triple (3-4-5)
Ich liebe solche Aufgaben, Danke 🤟
In der Schule und im Studium fand ich Mathe nicht so toll (lag auch an den Lehrern), auch weil man es für die Prüfung dringend brauchte und sehr viel Druck dahinter saß.
Habe es aber immer geschafft. Mittlerweile 30 Jahre später finde ich Mathe spannend und interessant - ist auch ein gutes Training für die grauen Zellen. Diese Aufgabe war recht einfach und konnte sie lösen.
Gerne auch mal was Komplizierteres (Reihen, einfache Differentialrechnung) usw. Mal gespannt, ob ich das noch kann ;-).
Du bist echt der absolute Wahnsinn im Quadrat 😜, erklärt wie ein echter Erklärbär, sorry eine Erklärbärin 🐻…alle fünf Daumen hoch 👍👍👍👍👍… oder hat jemand weniger 😉😘
Mega gut erklärt . Danke Anke 😉😉😉
Wieder mal sehr schön! Man muss ja einfach nur drauf kommen...🙂
Cool 😊 Bitte mehr davon 👍
Ich bin ziemlich gleich vorgegangen und somit zum gleichen Resultat gekommen. Schön finde ich, dass das Dreieck, an dem wir mit dem Satz des Pythagoras operiert haben, nicht einfach ein rechtwinkliges Dreieck, sondern ein klassisches 3-4-5-Dreieck ist. :)
@Nicole Doll Ich dachte eher an geflochtene Leinen aus "Dyneema" (einer von zahlreichen Markennamen für PE-UHMW). Aber stimmt, wenn man alle gleich stark spannen würde, hätte man eine hohe Genauigkeit. :)
@Waldläufer70 Wenn wir schon ins Detail gehen: Drähte verwenden und alle drei mit einer Federwaage gleich stark spannen. Gedrehte Schnüre sind ungeeignet. Für einen Fußballplatz braucht es aber eine solche Genauigkeit nicht.
@Nicole Doll In diesem Fall würde ich aber versuchen, eine der Katheten gleich in der Grösse des Fussballplatzes zu wählen und zudem eine möglichst dehnungsarme Leine zu verwenden (auf jeden Fall nicht zu klein), da sich sonst beim Vergrössern jede noch so kleine Abweichung vervielfacht.
@Nicole Doll
Baustelle machen wir so:
Seite a 120cm
Seite b 160 cm
Winkel solange verändern bis der Meterstab (2m) genau als Diagonale reinpasst, dann sind's 90 Grad.
Das ist zwar auch das Verhältnis 3:4:5, aber etwas praktikabler, denn ein Meterstab ist stets zur Hand, hat die richtige Länge und ist von einer Person zu händeln.
Der Baustellen-Pythagoras: Drei Schnüre mit dem Längen-Verhältnis 3:4:5 zuschneiden und dann als Dreieck auslegen. So wird ein Objekt mit der Größe eines Fußballplatzes problemlos rechtwinklig.
Der Trick mit den Radien ist echt clever. Hätte nicht gedacht, dass man plötzlich wieder mal vor Pythagoras steht. :-)
Vorweg muss ich sagen, dass dies ein wirklich gutes Video war/ ist. Mache weiter so!
Es war so gut, dass ich noch einen Schritt weiterdenken musste:
Ich finde es interessant zu sehen, wie in diesem Beispiel das Verhältnis der Radien beider Halbkreise zum Radius des großen Viertelkreises ist.
Wenn man den Radius des Viertelkreises generell R nennt, und nach deinem vorgestellten Ansatz rechnet, kommt man auf folgende Formel für den Flächeninhalt:
A_r = π · R²/4 - 1/2 · π · ( (R/2)² + (R/3)² ), R > 0.
Oder besser sichtbar: π · R²/4 - 1/2 · π · (R/2)² - 1/2 · π · (R/3)²
Diese Formel zeigt, dass das Verhältnis stets R/3 für den kleinen und R/2 für den großen Halbkreis ist. Egal wie groß man R nun wählt.
Wirklich faszinierend.
@Pephiros Gerne! Allerdings ist in der obigen Formel (die ja im Grunde eine Subtraktion ist) bereits vorausgesetzt, dass der Radius des kleinen Halbkreises bekannt ist... Das Verhältnis der drei Kreisausschnitte ist 18 : 9 : 4.
@Murdock55 Das war mir vorher nicht klar. Doch während ich selber daran knobelte hatte ich bereits den Verdacht, dass dieses Verhältnis 6 : 3 : 2 sein muss. Ich wollte es nur mathematisch nochmal bewiesen haben. Nach der guten alten Kunst des Q.E.D :D
Danke, das finde ich auch 🙂. Unter den Vorgaben muss das Radius-Verhältnis stets 6 : 3 : 2 sein, sonst "passen" die beiden Kreise nicht in den großen. Von daher ist klar, dass - bei Radius = 6 - der kleinere Halbkreis einen ganzzahligen Radius haben muss.
Bei dieser Anordnung ist der Radius r (kl. Kleis) = 2/3 des Radius R (gr. Kreis) = 3, also r = 2. A(gV) = 0,25*pi()*36 = 9pi(), gV = großer Viertelkreis. Für die rote Fläche ergibt sich somit: 9pi() - 0,5*4pi() - 0,5*9pi() = 2,5pi() 🙂
War grade erstaunt über mich selbst. Ich kam tatsächlich auch auf 2,5pi. :D und das 11 Jahre nachm MatheLK. Aber sowas wie binomische Formeln, Kreisfläche etc. ist uns auch einfach irgendwie mega eingebrannt worden damals. :D
Hat wie immer Spaß gemacht. Ich wär im Leben nicht auf den Rechenweg mit dem rechtwinkligen Dreieck gekommen 🤷🏻♀️, aber dafür hab ich ja Dich 😎
Vergiss die Einheiten nicht! Die sind auch und gerade in der Mathematik wichtig!
Einfach nur geil, wie die Stimmung vom anfäglichen OMG dieses Rätsel ist nicht zu lösen, zu ahhhh geil. So easy ist das, sich wandeln kann. 😁👍
Das hat echt Spaß gemacht, sehr cooles Rätsel. :)
Die binomische Formeln habe ich nie so richtig verstanden
Aber bei dir kann ich sie sogar ein bisschen verstehen.
Ich weiß nicht warum ich das in der Schule nicht verstanden habe.
Du bist echt toll, es macht viel Spaß dir zu folgen.
Hi Susanne,
Darf ich fragen: woher weiß ich, dass in der Verbindungslinie zwischen den Mittelpunkten der kleineren Kreise kein Knick ist? Dass der Berührungspunkt der beiden Kreise also genau auf der Strecke zwischen den Mittelpunkten der kleineren Kreise liegt.
@Hasky Der Lösungsweg ist also Teil der Aufgabenstellung? Wohl kaum…!
@Christian Glauert 0:30 "hier unten sieht man ja auch schön den Mittelpunkt"
@Hasky Vermutungen sind keine Fakten…
@Christian Glauert die Punkte in der Mitte der Halbkreis und auch in der Ecke des viertelkreises sollen wohl den Mittelpunkt darstellen und implizieren somit, dass es sich jeweils um Kreise handelt...
@Br Drnda Naja… in der reinen Aufgabenstellung steht davon nichts, nur im Titel zum Video und durch Wortlaut in der Moderation. Würdest du nur das Blatt mit der Aufgabe haben, erschließt sich nicht, das es sich um Kreise handelt und der Lösungsansatz würde das einfach voraussetzen…
Wirklich cool - wie man/Du das macht.
Danke.👍🌸
5/2pi
Auf den Radius des kleinen Kreisen kommt man über den Pythagoras (wenn man erkennt, dass die kürzeste Verbindungslinie der Kreismittepunkte durch deren Berührungspunkt gehen muss).
(3 + r)^2 = (y + r)^2 + 3^2 und y = 6 - 2r. Nach auflösen r = 2 und somit A = 36pi/4 -9pi/2 - 4pi/2 = 5/2pi
Und wieder mal eine Lösung mit einem schönen Trick aus der Mathematrick-Kiste.
Voll entspannend Dein Content! 👍🏻
Freut mich! 🥰
Also den Radius vom kleinen Halbkreis konnte man schon vom Anschauen her ziemlich gut ablesen.
Mit Stift, Papier und Zirkel wäre es dann auch sehr einfach gewesen. Radius vom kleinen Halbkreis mit dem Zirkel abnehmen und dann mit der Spitze am unteren Schnittpunkt mit der Y-Achse ansetzen und ein Hilfshalbkreis zeigt den neuen Schnittpunkt im Nullpunkt, also ist der Dv = 3*Rkh bzw. Rkh = Dv/3, also 6/3=2
BTW wäre es cool, wenn Du auch mal die Techniken und Vorgehensweisen vorstellen kannst, es so zu ermitteln anstatt rechnerisch zu lösen. So wie die alten Griechen oder Ägypter.
Bravo, Sie haben eine ganz außergewöhnliche didaktische Begabung und das im Fach Mathematik, welches viele als staubtrocken und wenig attraktiv einschätzen. Ich nehme an, Sie kennen den Prof. Rudolf Taschner von der TU Wien, an den erinnert mich Ihre Vorgehensweise. Wie wärs, wenn Sie mal die komplexen Zahlen thematisieren, da gibt es auch ganz erstaunliche Zusammenhänge (z. B Eulersche Relation), welche für Ihr Publikum ganz bestimmt äußerst aufschlußreich wären.
PS: da fällt mir noch Gabriels Posaune (Horn) ein, das ist auch ein Aha-Erlebnis. Herzliche Grüße.
Daß drei mal der Durchmesser des kleinen Kreises den Durchmesser des großen Kreises ergibt und sich der Mittlere Kreis zwei mal mit Berührung einfügen läßt wußte ich noch durch neugierige Spielereien mit dem Zirkel . In perfekter Harmonie , die Längen 1 , 2 und 3 .
Meine Lösung ohne das Video zu sehen: man muss zuerst den Radius des kleinen Kreises ausrechnen, da hilft einem Pythagoras und man erhält 2 (was auch einem Plausicheck durchaus standhält). Ab da ist es easy und man zieht vom großen Viertelkreis die beiden Halbkreise ab und erhält 5/2 Pi.
Ich schaue diese Rätsel sehr gerne an. Ich wünsche mur nur oft, Du würdest das triviale Vorspiel etwas verkürzen und schneller auf den Punkt kommen!
Schön erklärt. Das weckt Erinnerungen an meine Schulzeit. Vermutlich wurde aus Vereinfachungsgründen die Einheit weggelassen, aber man sollte das schon generell machen. Mein Mathelehrer hätte sonst von Mißbrauch des Gleichheitszeichens gesprochen.
Schon wieder ohne Einheiten...schimpfmeckerzeteraufreg etc😄
Toll erkärt, ich hätte zwar die durchmesserbezogene Formel genommen,aber das Ergebns wäre dasselbe gewesen. Kreisberechnungen wie z.B Segment, Kreisab- oder -Ausschnitt speziell in Verbindung mit Dreiecken und Winkeln ist sehr faszinerend und Du erklärst das super. Dankèschön👍
Okay, auf das Ergebnis 2,5Pi bin ich mit dem optisch geschätzten r=2m auch gekommen, aber da schätzen natürlich nicht gilt, bleibt mir die Frage: Woher weiß ich, dass die Verbindungslinie der Radien beider Halbkreise genau deren Berührungspunkt ist? 🤔
Danke für die interessante Aufgabe :)
Sehr gerne! 🥰
Wieder ein wunderbares Video, aber ich hätte die Frage: wenn diese Aufgabe so in einer Klausur gestellt würde, wäre sie ohne Angabe des rechten Winkels doch gar nicht lösbar, oder?
super gelöst👍😘
Auf den ersten Blick, gar nicht mal so einfach. Danke und schönes Wochenende🤘😎
Eine schöne Aufgabe für eine Klassenarbeit
Da kommen so viele Erinnerungen hoch :D - wie schnell man doch vergisst
Schöne Aufgabe, in der das pythagoräische Zahlentripel (3,4,5) vorkommt!
@Mein guter Name "Ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Kathete von 3 kann ja prinzipiell alle möglichen Seitenverhältnisse haben." Welche?
Das ist eine interessante Beobachtung. Ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Kathete von 3 kann ja prinzipiell alle möglichen Seitenverhältnisse haben. Dass es genau dieses ist, ist dann auch dafür verantwortlich, dass wir beim Verhältnis von roter Fläche zu Viertelkreis im Bereich der rationalen Zahlen bleiben. Bzw. mit einem vollen Kreis und darin vier sich entsprechend berührenden Kreisen ebenso.
Oder andersherum: Wenn man für einen Kreis zwei kleinere Kreise mit halbem Radius bildet und zwei weitere mit einem Drittel des Radius, dann kann man sie auf genau diese Art so einsetzen, dass sie sich und den äußeren Kreis berühren.
Voll einfach Rechnung eigentlich, und das nachdem ich 10 Jahre aus der Schule raus bin 😆👍
Das war mal wieder sehr unterhaltsam
Das freut mich sehr!
Wunderbar erklärt. Und spannend! Sogar für mich, der mit Mathematik nichts am Hut hat. Aber eine Frage: Wie kann man wissen, dass es sich bei der Gesamtfläche um einen Viertelkreis handelt und nicht um eine Viertel-Ellipse? Man hat ja keine Angabe von der anderen Seite. Oder mache ich einen Denkfehler?
Danke für eine Antwort und liebe Grüsse
Super Aufgabe.😉
Das war klasse! :-)
Freut mich, dass es dir gefallen hat! 😊
die sieht echt einfach aus, müsste ich relativ einfach hinbekommen...
also ich habe eine Lösung die wäre aber sehr kompliziert. Ist aber definitiv richtig, ich schlucke meinen Stolz runter und schaue einfach dir zu...
Ja hast recht, so macht es mehr Sinn, hätte das andere Dreieck genommen und dann mit Winkel und Cosinus-Satz, aber deine Lösung ist 10 mal besser.
Wie kann man sicher gehen, dass die Verbindungsstrecke (r+3m) wirklich eine gerade Strecke ist und nicht etwa einen Knick hat?
Ich muss sagen, obwohl ich mich für doch recht gut im lösen von Mathematischen Fragen sehe hab ich mich hiermit irgendwie schwer getan. Wieso auch immer ^^"
Das macht Spaß. Mir hat ein schlechter Matheunterricht die Schulzeit zur Hölle gemacht, sodass ich bis zum Ende meiner Studienzeit überzeugt war, unbegabt in der Mathematik zu sein.
Erst jetzt merke ich, dass es Spaß macht, solche Rätsel zu lösen. Eure Videos sind dabei ein Segen.
Hallo, tolle Sendung, schaue ich mir immer gerne an. Ich bin im Prinzip auf die exakt selbe Lösung gekommen, jedoch war ich mir im Bezug mit dem Schnittpunkt der beiden Viertel Kreise unsicher ob wirklich eine Gerade entsteht, so dass der Phytagoras angewendet werden kann. Kannst du mir bitte eine geometrische Regel nennen nach der man so eine Feststellung immer sicher treffen kann? Mit freundlichen Grüßen. Yilmaz
Siehe die Antwort von Mathematrick weiter unten.
So eine Mathelehrerin hätte ich mir in der Schulzeit auch gewünscht....
Wie ich mich dem Problem genähert habe . Also , das Hauptproblem war zunächst mal mèine Vermutung zu beweisen daß wenn der mittlere Kreis einen Durchmesser von 6 m hat dann der Kleine einen Durchmesser von 4 m hat . Dafür sind die 6 m ideal geeignet . Wenn sich zwei Kreise berühren kann ich die beiden Mittelpunkte mit einer Strecke so miteinander verbinden daß diese durch den Berührungspunkt geht . Die Strecke ist dann so lang wie beide Radien addiert . Auf diese Weise erhalte ich ein rechtwinkliges Dreieck . 3x4x5 . Das ist ein pythagoräisches Dreieck das existiert und wobei alle Proportionen (der Aufgabe) aufgehen . Da nur eine Proportion in diesem Beispiel existieren kann ist das die einzig Mögliche . Der Rest ist dann Subtraktionsrechnung mit der Kreisflächenformel . Ich hoffe das war auch wirklich logisch , diese verdammte Unsicherheit . (lol)
Ziemlich cool, irgendwie habe ich mit Augenmaß gesehen, dass r 2/3 von 6 ist. Gibt es vllt eine Möglichkeit zu beweisen, dass bei zwei Halbkreisen im Viertelkreis der r des kleineren Halbkreises immer 2/3 des d des größeren Kreises ist?
Das fände ich nen coolen Beweis
Im Prinzip ist dieses Video genau der Beweis dafür. Aus der Anordnung der Kreise ergeben sich zwingend diese Verhältnisse der Radien, egal ob man da 6m dranschreibt oder Himbeersaft.
@Richard Fröhlich Danke. Oder graphisch: Zeichne einen Kreis mit Radius r = 6, zeichne auf der x-Achse nebeneinander zwei Kreise mit r = 3, zeichne auf der y-Achse drei Kreise übereinander mit r =2. Man sieht, alle kleinen Kreise passen in den großen...🙂
Das ist ganz einfach. Du musst nur in den Gleichungen statt 3 für den Radius des großen Halbkreises x einsetzen und die Gleichung nach r auflösen. Das Ergebnis ist r = 2/3x und gilt somit für jeden Wert von x. X² + (2x - r)² = (x + r)²
Zuerst mal - Du bist didaktisch großartig, so eine "Co" hätte ich mir beim Mathe unterrichten in Zeiten des Teamteachings gewünscht 👍🏻.
Schön wäre ein Teil 2 dieser Aufgabe - Flächenberechnung des kleinen roten Teils links unten...
I'm missing a crucial point, which is the proof that the line (r+3m) connecting both centers of the half circles through the point where they meet, is a straight line, which is necessary in order to be able to use pythagoras for the calculation of r.
If the two circles touch in one point, the distance to the centre is the radius of the circle. The radius of a circle is the shortest way from the outside to the centre. A distance (mathematically) is the shortest connection of two points (straight line, of course). So if the circles only touch in one point it has to be a straight line from centre to centre.
😀Super Video. Mühsam nährt sich das Eichhörnchen 😉
Mir fehlt ein Detail: wie konstruiere ich denn den kleinen Halbkreis?
Ich habe nur so ein Gefühl, dass mir das dann auch erklären wird, warum die Verbindung kleiner Kreismittelpunkt zu grösserem Kreismittelpunkt eine Gerade ist, die durch den Berührungspunkt verläuft.
Tolle Aufgabe jedenfalls.
@porkonfork2021 Ja, doch, jetzt hab ichs kapiert. Bin eben nicht mehr der Jüngste. Danke an alle!
@Zweeble haben zwei andere kommentatoren bei dieser lektion schon erklärt: durch den berührungspunkt beider kreise geht eine (gemeinsame) tangente. auf ihr stehen die kreisradien jeweils senkrecht. somit bilden die radien zusammen einen winkel von 180° und damit eine gerade.
@porkonfork2021 Nein, das ist keine korrekte Lösung mit "ausrechnen".
Wie bekomme ich überhaupt den kleinen Kreis mit Zirkel und Lineal hin?
DANN erst würde ich verstehen, warum die Linie Mittelpunkt kleiner Kreis - Berührungspunkt beider Kreise - Mittelpunkt grösserer Kreis eine Gerade wäre.
Und genau an der Stelle wird hopplahopp einfach übergangen, warum das eine Gerade ist und wir von einem Dreieck ausgehen können.
Wenn so eine Konstruktion nicht möglich wäre, dann wäre sie der Quadratur des Kreises ebenbürtig. Aber davon habe ich noch nie gehört/gelesen.
Hilfe, Susanne!
@Bruce Wayne Das ist wohl korrekt. Aber weshalb sollten die Mittellinien vom kleinen zum mittelgrossen Kreis eine Gerade bilden?
konstruktion: wie gezeigt die länge der hypothenuse ausrechnen, am mittelpunkt des größeren innenkreises zirkel einstechen, schnittpunkt von hypothenuse mit y-achse bestimmen. liefert den mittelpunkt des kleinen innenkreises.
oder: bei dieser anordnung der kreise ist das verhältnis der radien festgelegt!
aus pythagoras: die radien der verschieden großen kreise seien g, m und k (für großen, mittleren und kleinen kreis). dann gilt
m² + (2m - k)² = (m + k)²
m² + 4m² - 4mk + k² = m² + 2mk + k²
4m² = 6mk
4/6 m = k
daher gilt (bei dieser geometrischen konstellation) immer:
k = 2/3 m = 1/3 g
Liebe Susanne, prima Dich wieder als Moderatorin auf dem Computer-Display zu sehen und zu hören. Viele Grüße und ein sonniges Wochenende, René! (ich bleibe übrigens Mitglied)
Danke dir René! Es freut mich total, dass du meinem Kanal als treuer Unterstützer erhalten bleibst! Ganz liebe Grüße!
Der untere erste Halb-Kreis geht doch komplett von links nach rechts zum Rand des Viertekkreises (6m). Damit bräuchte man die Berechnung des Radius durch den Pythagoras des zweiten halben Kreises eigentlich doch nicht, da sich automatisch dann der Radius 2 ergibt, wenn dieser zweite Halb-Kreis den ersten halben Kreis berührt, das heisst der Durchmesser des zweiten Halbkreises ist 2/3 von 6m (also 4m) und der Radius dann 2m. Oder sehe ich das falsch? Liebe Grüsse Thorsten
Naja, wenn alles vorher schon bekannt ist, kann man das so machen...
Man wenn ich solche Sachen in der Mathematik sehen könnte (Dreieck in einem Kreis, oder sonstiges) dann könnte ich auch Mathe "locker" lösen 🙈
eine frage gibt es eine Erklärung warum das r des kleinen Halbkreises genau 1/3 des r des großen Viertelkreises ist?
Ich rate mal soweit, wie ich auf den ersten Blick komme.
Ein viertel Kreis mit dem Radius 6m, ein Kreis mit dem Durchmesser 6m, dadurch wissen wir, dass die Y-Achse 6m hoch ist. Der Radius des unteren Kreises ist 3m und dann bräuchte ich mal ein Blatt und einen Stift, jetzt scheitert meine Visualisierung. xD
Ansonsten 2 Flächen der Halbkreise von dem viertel Kreis abziehen.
Wenn du die 9 abziehst musst du es auch von der 36 abziehen und nicht nur die 9 wegstreichen
Worauf basiert die Hypothese, bei der Gesamtfigur handele es sich um einen Viertelkreis?
4:15 Mir fehlt hier noch der Nachweis, dass es wirklich eine(!) Linie ist und nicht zwei Linien mit einem Knick.
Edit: Geschenkt, muss logischerweise so sein, denn wenn ich zwei Punkte mit einer Geraden verbinde und um die Punkte jeweils einen Kreis vergrößere, ist der Kreis dort dem anderen Punkt am nächsten, an dem er auf der Geraden liegt. Wenn sich die beiden Kreise berühren, muss dieser Berührungspunkt also auf der Geraden liegen.
Wäre aber ggf. dennoch eine wichtige Ergänzung im Video und mich würde interessieren, ob es da auch eine Formel oder einen Satz oder so dafür gibt 😉
@Christian G Danke, die Erklärung ist auch gut, ähnelt ein wenig meiner Erklärung, nur andersherum aufgezogen 😉
Wenn dort ein Knick ist, ist die verbindungsstrecke kleiner als r1 +r2, und die Kreis würden dort Überlappen (also jeweils in dem Anderen Kreis reinragen) in diesen Fall hättest du zwei Schnittpunkte und nicht nur einen. Ist jetzt kein Satz aber hoffentlich eine Verständliche erklärung.
Ich habe 'r' einfach mal auf 2 geschätzt. 🙈
Sah für mich optisch nach r=6m/3 aus. 😅
Ob das in einer Mathearbeit gereicht hätte?
Kleine Frage:
Geht es nicht einfacher wenn man:
A. den viertel Kreis mit der Flächenformel berechnet mit dem radius 6. und dann durch 4 teilt…
B. die anderen beiden Kreise mit der Kreisflächenformel jeweils berechnet und die fläche halbiert …
- und dann B von der Fläche von A abzieht?
@Br Drnda hast recht 👍🏾
Für die Kreisfläche brauchst du den Radius, den kennst du aber nur für den grossen und mittleren Kreis. Für den kleineren Kreis musst du den Radius erst berechnen.
du hast nicht gezeigt, dass M1M2M3 tatsächlich ein Dreieck ist, also dass eine gerade Linie die Mittelpunkte der Halbkreise durch den Berührungspunkt der Halbkreise geht. Das wäre gerade der interessante Punkt des Beispiels gewesen...
Habe s ganz anders gemacht. Habe ein Quadrat aufgestellt bei welchem der Flächeninhalt 6*y aber ebenso 2xy + 2y beträgt aufgestellt. Gleichung also 2xy 2+y=6y
Das ganze durch y:
2x+2=6
2x=4
x=2
Das y ebenfalls 2 ist,konnte ich nicht ahnen aber dieser Weg war einfach.
Wie groß ist denn die Fläche der schwazen Umrandung?
Woher weiß du das die Flächen sich berüren?
Hm,bitte berichtige mich, wenn ich falsch liege, aber wenn 2 gleich große Kreise sich in einem größeren Kreis befinden, so wie hier, und darauf ein tangierender anderer, so hat dieser grundsätzlich 2/3 radius vom inneren liegenden größeren Kreis